mathematic

Rahasia Angka 0

29/11/2013 12:13

Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.
Nol, penyebab komputer macet
Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?
Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5o=1, tetapi 50o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.
Bilangan nol: tunawisma
Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.
Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.
Mudah, tetapi salah
Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.
Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21. 
Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.
Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.
Bergerak, tetapi diam
Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.
Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2.

(sumber : forum.kompas.com/sains/16139-rahasia-angka-nol.html)

Trigonometri

27/11/2013 22:20

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri

 

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya.

Hubungan fungsi trigonometri

TrigonometryTriangle.svg

Fungsi dasar:

\sin A = \frac{a}{c}\,
\cos A = \frac{b}{c}\,
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\ = \frac{a}{b}\,
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\ = \frac{b}{a}\,
\sec A = \frac{1}{\cos A}\ = \frac{c}{b}\,
\csc A = \frac{1}{\sin A}\ = \frac{c}{a}\,

Identitas trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,

Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,
2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),
2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),
2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),
2 \sin A \times \sin B = - \cos (A + B) + \cos (A - B),

Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,
(sumber : id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri )
 

Fungsi Kuadrat

21/11/2013 00:43

 

Tugas Aljabar Group 1-Fungsi Kuadrat.docx (178558)

Hahay,lets to learned with yourself. Kuadrat function is our (group 1) material. We accomplish this task by well :). Ahhaa, each member of our group can be understood as the task done together.

oh you can learn more this matery from this link : www.slideshare.net/irvianarozi/fungsi-kuadrat-2

Golden Ratio (Rasio Emas)

15/11/2013 04:42

Dalam matematika dan seni, dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas   (phi) jika rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan rasio antara nilai besar terhadap nilai kecil. Nilai yang lebih besar dilambangkan dengan huruf a, sedangkan nilai yang lebih kecil dilambangkan dengan huruf b. Gambar di sebelah kanan menggambarkan hubungan geometrik yang jika dirumuskan secara aljabar adalah sebagai berikut:

 

dimana huruf Yunani phi mewakili rasio emas. Nilainya adalah:

 

Setidaknya sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas—terutama dalam bentuk persegi emas, yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas—dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas dapat dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan rasio aspek yang sama persis. Para ahli matematika sejak zaman Euclid telah mempelajari rasio emas karena sifatnya yang unik dan menarik. Rasio emas juga digunakan dalam analisis pasar keuangan, serta strategi seperti retraksi Fibonacci.

Rasio emas sering kali disebut bagian emas (Latin: sectio aurea) atau rata-rata emas. Nama lainnya antara lain rasio ekstrem dan rata-rata,bagian tengah, proporsi ilahiah, bagian ilahiah (Latin: sectio divina), proporsi emas, potongan emas, angka emas, dan rata-rata Phidias

Dua nilai a dan b dinyatakan berada dalam hubungan rasio emas φ jika:

 

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.

Salah satu cara untuk menemukan nilai φ adalah dengan memulai pembagian sisa. Dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebutnya dalam b/a = 1/φ,

 

\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi},

hal ini menunjukkan

 

1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi.

Dikalikan dengan φ menghasilkan

 

\varphi + 1 = \varphi^2

yang dapat diatur menjadi

 

{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.

Dengan menggunakan formula kuadrat menghasilkan jawaban positif yaitu

 

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots.

                                                Rasio emas telah memikat kaum intelektual barat dari berbagai latar belakang disiplin ilmu
selama sekurangnya 2.400 tahun. Menurut Mario Livio:

Sekian banyak cendekiawan matematika dari berbagai era, seperti Pythagoras dan Euclid dari Yunani kuno, sampai ahli matematika Italia abad pertengahan Leonardo da Pisa dan ahli astronomi Renaissance Johannes Kepler, hingga tokoh-tokoh ilmuwan seperti pakar fisika dari Oxford Roger Penrose, telah menghabiskan banyak waktu untuk memahami rasio sederhana ini dengan sifat-sifatnya. Akan tetapi ketakjuban akan rasio emas ini tidak hanya terbatas di kalangan ahli matematika saja. Ahli biologi, seniman, musisi, sejarawan, arsitek, psikolog, dan bahkan ahli mistik telah berdebat mengenai hakikat keserbaadaannya dan daya tariknya. Bahkan, mungkin patut dikatakan bahwa rasio emas telah mengilhami begitu banyak pemikir dari berbagai disiplin ilmu dibandingkan angka apapun dalam sejarah matematika.

Ahli matematika Yunani kuno pertama kali mempelajari hal yang kini dikenal sebagai rasio emas karena kerap muncul dalam geometri. Pembagian garis menjadi "rasio ekstrem dan rata-rata" (bagian emas) sangat penting dalam geometri pentagram dan pentagon. Bangsa Yunani biasanya mengaitkan penemuan konsep ini dengan Pythagoras atau pengikutnya. Pentragram yang dibubuhi pentagon menjadi lambang kaum pendukung paham Pythagoras.

Elemen Euclid (Yunani: Στοιχεῖα) memberikan definisi tertulis pertama mengenai apa yang disebut sebagai rasio emas: "Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam rasio ekstrem dan rata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang adalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek." Euclid menjelaskan cara memotong sebuah garis dalam "rasio ekstrem dan rata-rata", yaitu rasio emas Di seluruhElement, beberapa pengajuan gagasan (teorema dalam istilah modern) serta pembuktiannya menggunakan rasio emas. Beberapa dari gagasan yang diajukan ini menunjukkan bahwa rasio emas adalah bilangan irasional.

Nama "rasio ekstrem dan rata-rata" adalah istilah utama yang digunakan pada abad ke-3 SM hingga sekitar abad ke-18 M.

Sejarah modern rasio emas dimulai dengan karya Luca Pacioli De divina proportione pada tahun 1509, yang memukau para seniman, arsitek, ilmuwan, dan mistik dengan rumusan matematika dan sifat-sifat istimewa rasio emas.

Michael Maestlin, pertama kali menerbitkan perkiraan desimal rasio emas pada 1597.

Perkiraan inversi rasio emas dalam bentuk pecahan desimal, disebutkan bernilai "sekitar 0,6180340," pertama kali ditulis pada 1597 oleh Michael Maestlin dari Universitas Tübingen, dalam suratnya untuk mantan muridnya Johannes Kepler.

 

Sejak abad ke-20, rasio meas diwakili dengan huruf Yunani Φ atau φ (phi, berdasarkan nama Phidias, (pematung yang disebut-sebut menggunakan rasio ini) atau secara tidak lazim juga dilambangkan dengan τ (tau, huruf pertama untuk kata dalam Yunani kuno τομή yang berarti memotong. 

 

 

Penerapan dan pengamatan

Estetika

De Divina Proportione, sebuah buku tiga volume karya Luca Pacioli, diterbitkan pada 1509. Pacioli, seorang pendeta Fransiskan, dikenal sebagai ahli matematika, tetapi ia diketahui tertarik dan terlatih dalam bidang seni. De Divina Proportione mengeksplorasi matematika dari rasio emas. Sering disebutkan bahwa Pacioli adalah penganjur penerapan rasio emas untuk menghasilkan proporsi yang harmonis, indah, dan menyenangkan. Livio menunjukkan bahwa penafsiran ini salah akibat salah penerjemahan yang dirunut terjadi pada 1799, bahwa Pacioli sesungguhnya menganjurkan sistem Vitruvius untuk proporsi rasional. Pacioli juga melihat signifikansi iman Katolik dalam rasio ini, hal inilah yang mendorongnya memberi judul karyanya seperti demikian. Terdapat ilustrasi bangun karya Leonardo da Vinci, sahabat dan kolega Pacioli, De Divina Proportione menjadi pengaruh utama bagi seniman dan arsitek.

Arsitektur

 

Proporsi beberapa bagian Parthenondianggap menampilkan rasio emas.

Fasad dan elemen Parthenon serta bagian lainnya disebut-sebut dipengaruhi persegi panjang emas.Sementara para ilmuwan lainnya menolak anggapan bahwa Yunani menghubungkan keindahan dengan rasio emas.

Keterkaitan antara Golden Section dengan Bilangan Fibonacci

Dalam geometri membahas dengan berbagai macam hal salah satu geometri memang erat kaitannya dengan golden section. Namun tidak hanya membahas apakah geometri itu namun apakah golden section dengan bilangan Fibonacci saling terkait?? Pertama-tama perkenalan akan golden section, apakah golden section? Golden section merupakan salah satu hitungan yang banyak dipakai dalam barbagai hal (pembuatan piramid, struktur wajah manusia, tubuh manusia, struktur keong, alam dll) dengan perhitungan:

Φ = ( 1 + √5)/2      

Φ = 1.618…

Namun apakah bilangan Fibonacci?? Bilangan Fibonacci banyak digunakan sebagai pengaturan lantai dengan kotak berukuran (segi arsitektur) denga latar belakang perhitungan:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut: Fn = (x1^n – x2^n)/ sqrt(5) dengan

·         Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n

·         x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x^2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Maka dengan hasil yang hampir sama dengan angka yang mendekati 1,618 maka golden ratio dengan bilangan Fibonacci memiliki benang merah tersendiri yaitu kesamaan hasil dan hitingan walaupun memiliki kegunaan yang berbeda dalam terapannya.

 

(sumber dikutip dari : id.wikipedia.org/wiki/Rasio_emas dan geometryarchitecture.wordpress.com/ )

Bilangan Fibonacci

15/11/2013 03:58

 

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

 

F(n)= \begin{cases} 0, & \mbox{jika }n=0; \\ 1, & \mbox{jika }n=1; \\ F(n-1)+F(n-2) & \mbox{jika tidak.} \end{cases}

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2n)/ sqrt(5)

dengan

·         Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n

·         x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2 – x – 1 = 0.

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas yang nilainya mendekati 1,618.

 

 Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci

Asal mula

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India,Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Pada mulanya, deret ini tercipta atas hasil pemikiran matematikawan asal India, Gopala dan Hemachandra (Gopala Chandra) pada pertengahan abad ke-11. Mereka pada saat itu sedang menghadiri acara yang diadakan oleh kerajaan setempat. Sang raja sedang mencari cara agar dapat dengan cepat dan mudah mendistribusikan barang yang ada di gudang kepada masyarakatnya. Lalu, muncul pemikiran dari para ilmuwan tadi tentang kemungkinan memasukkan barang tersebut ke dalam kantung*. Pada awal abad ke-12, hasil pemikiran Gopala Chandra kemudian didalami oleh ilmuwan asal Italia bernama Leonardo ‘Fibonacci’ da Pisa.  

 Pisa mempelajari pemikiran tersebut dan mencocokkan dengan hasil penilitiannya terhadap perkembangbiakan kelinci. Populasi kelinci ternyata terus tumbuh dengan rasio yang itu-itu saja. Alhasil, muncullah kesimpulan berupa sebuah deret yang kemudian dinamakan Deret Fibonacci. (Mengenai penjelasan mengapa Pisa menggunakan kelinci dan mencocokkannya dengan hasil pemikiran Gopala Chandra, mungkin hanya Nobita dan Doraemon yang bisa mencari tahu. Dengan mesin waktunya, tentunya. Hehehehe! #random). Oh ya, ada pula yang berpendapat bahwa hasil pemikiran Gopala Chandra ini juga menjadi sejarah awal terciptanya permainan catur. #WhoKnows

*kantung di atas tidak diketahui secara pasti bagaimana bentuknya. Menurut beberapa pendapat, barang-barang distribusi tersebut bisa saja dimasukan ke dalam kereta, gerobak, dsb.

Seperti yang diketahui bahwa Pisa tidak hanya menggunakan metode penjumlahan dalam penelitiannya tadi (perkembangbiakan kelinci) tapi juga menggunakan pembagian. Pembagian ini diawali dengan membagi angka pada Deret Fibonacci dan satu angka setelahnya. Dimulai dengan membagi angka 2 dan 3 yang memiliki hasil 0,6667. Kemudian dilanjutkan dengan membagi 3 dan 5, 5 dan 8, 8 dan 13, 13 dan 21, … dst. Secara menakjubkan, ternyata semua hasil pembagian tadi merujuk pada satu angka yaitu 0,618 (jika dibulatkan). Dan, semakin besar kelipatan angka yang dibagi semakin mendekati pula hasil yang didapat, bahkan sama! (Silahkan hitung sendiri kalau tidak percaya). Akhirnya, ditentukanlah angka 0,618 sebagai salah satu rasio yang digunakan sampai sekarang.

2 : 3

=

0,667

3 : 5

=

0,600

5 : 8

=

0,625

8 : 13

=

0,615

13 : 21

=

0,619

21 : 34

=

0,618

34 : 55

=

0,618

55 : 89

=

0,618

Tak selesai sampai di situ, Pisa pun terus mencoba membagi angka yang baru, kali ini Ia membagi angka pada deret dengan dua angka yang tercipta setelahnya. Dimulai dengan membagi 2 dan 5, kemudian 5 dan 13, 13 dan 34, 21 dan 55, 34 dan 89, 55 dan 144, … dst. Ternyata, angka yang dihasilkan oleh pembagian ini tak kalah menakjubkan dengan yang sebelumnya. Semua hasil dari pembagian ini mendekati angka 0,382 yang juga sekarang digunakan sebagai rasio tetap yang ada pada Deret Fibonacci.

5 : 13

=

0,384

8 : 21

=

0,381

13 : 34

=

0,382

21 : 55

=

0,382

34 : 89

=

0,382

55 : 144

=

0,382

Seperti yang tidak pernah puas dengan apa yang dia dapat, Pisa pun terus membagi angka pada Deret Fibonacci dengan jarak yang lebih jauh lagi. Sehingga ditetapkanlah angka 0.236, 0.382, 0.500, 0.618, dan 0.764 sebagai rasio yang diakui dalam Deret Fibonacci sampai saat ini.

Yang lebih mengejutkan, bukan semata-mata hasil pembagiannya yang merujuk pada suatu angka melainkan sebagian dari rasio tadi ternyata merupakan hasil pemangkatan dari rasio 0.618. Rasio 0.382 misalnya, sama dengan 0.6182 (dikuadratkan) dan 0.236 sama dengan 0.6183 (dipangkatkan tiga). Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa 0.618 adalah hasil dari pembagian angka pada Deret Fibonacci dengan angka setelahnya; yang artinya rasio ini adalah rasio pertama yang ditemukan oleh Pisa sehingga rasio ini diberi julukan oleh berbagai pihak sebagai The Golden Ratio. Rasio-rasio di atas pulalah yang dapat ditemukan trader dalam penggunaan fibonacci sebagai alat bantu dalam melakukan analisa teknikal.

Fibonacci Untuk Analisa Teknikal
Meskipun dikatakan sebagai alat bantu, fibonacci tidak serta merta dapat dikatagorikan sebagai indikator. Alasannya karena fibonacci adalah merupakan alat bantu yang tidak terlalu terpaku dengan keadaan masa lampau. Ia hanya menghitung rasio dari setiap penarikan yang terjadi.

Dalam analisa teknikal, fibonacci dapat dimanfaatkan untuk menentukan batas-batas rasional. Batas rasional tersebut nantinya digunakan untuk memprediksi sampai dimana dan sejauh mana harga akan bergerak. Berbicara mengenai batas-batas rasional, itu sama saja dengan kita membicarakan support dan resistance. Yang mana sudah kita ketahui, support dan resistance memiliki pengaruh terhadap pergerakan harga. Ketika harga mendekati atau bahkan menyentuh support/resistance, ia akan memiliki dua kemungkinan: menembus atau memantul. Jika menembus ia akan cenderung mengarah ke batasan berikutnya dan jika memantul ia akan cenderung kembali ke batasan sebelumnya. (Jika masih belum jelas, silahkan baca ulang bab Support & Resistance). Itu pulalah yang akan Anda temukan pada fibonacci: rasio-rasio yang ada akan menjadi penuntun Anda dalam memprediksi pergerakan harga sama seperti ketika Anda menggunakan support dan resistance.

Fibonacci dapat Anda temukan pada toolbar “Insert” dalam trading platform Anda (untuk yang berbasis metaquotes). Secara umum, ada beberapa jenis fibonacci yang terdapat pada trading platform, yaitu: Fibonacci Retracement, Fibonacci Fan, Fibonacci Arcs, Fibonacci Time Zones, dan Fibonacci Expansion.

Fibonacci Retracement
Jenis fibo ini merupakan yang paling banyak digunakan trader di penjuru dunia. Fibonacci retracement sering digunakan untuk memprediksi pergerakan harga dengan batas-batas rasional yang dihasilkannya. Batas-batas rasional tersebut pada nantinya dapat menjadi acuan trader sebagai support dan resistance yang mungkin akan disentuh oleh harga di masa yang akan datang.

 

 

 

Gambar 1. Contoh memprediksi harga dengan Fibonacci Retracement pada pergerakan index Amerika, Dow Jones

Penggunaan fibonacci retracement lazimnya dilakukan dengan cara penarikan; dari titik (harga) tertinggi ke titik (harga) terendah, ataupun sebaliknya. Berikut di paparkan contoh penarikan Fibonacci :

 

Gambar 2. Ini adalah tampilan mata uang $EURUSD sebelum dilakukan penarikan Fibonacci Retracement. Terlihat dengan jelas titik harga tertinggi dan terendah pada chart.

Fibonacci Fan
Fibo ini hanyalah bentuk lain dari fibonacci retracement. Fibonacci fan akan berbentuk menyerupai cahaya lampu yang terpancar dari mercusuar yangmana semakin jauh jaraknya cahaya akan semakin melebar. Pada fibo jenis ini Anda hanya akan menemui tiga garis diagonal yang masing-masing garis mewakili rasio 0.382, 0.500, dan 0.618.Sama halnya dengan fibonacci retracement, pada ‘fibo fan’, garis-garis yang terbentuk dapat digunakan sebagai pertimbangan atas batas-batas rasional. Penarikannya pun tidak jauh berbeda dengan fibonacci retracement, yaitu mengacu pada swing high dan swing low dalam chart. Namun, karena fibonacci fan biasanya digunakan untuk mengidentifikasi perubahan arah trend, tak jarang trader yang menggunakan cara berbeda dalam penarikannya. Cara penarikan yang dimaksud tidak lagi terpaku akan swing high ataupun swing low yang ada pada chart, melainkan dengan memposisikan garis pertama pada fibonacci fan sebagai trendline. (Mengenai trendline sudah saya bahas pada bab GARIS TREND (TRENDLINE).

 

 

Gambar 9. Ini adalah contoh pergerakan pada mata uang EURUSD (dalam timeframe H4).

Fibonacci Arcs
Tidak jauh berbeda dengan Fibonacci Fan, Fibonacci Arcs menunjukkan batas-batas rasional dengan hanya tiga garis yang masing-masing garis mewakili rasio 0.382, 0.500, dan 0.618. Yang unik dari fibo jenis ini adalah bentuk garisnya yang melengkung sehingga menyerupai sebuah kurva. Fibo ini dapat dikatakan menunjukkan batasan rasional harga yang posisinya cenderung acak (tidak sejajar) namun tetap dengan perhitungan rasio fibonacci yang berlaku.

 

Gambar 13. Contoh pergerakan mata uang EURUSD dengan Fibonacci Arcs.

Fibonacci Arcs seringkali dikombinasikan dengan Fibonacci Fan oleh para trader untuk mendapatkan konfirmasi yang lebih akurat dalam memprediksi harga.

Fibonacci Time Zones
Berbeda dengan Fibonacci Retracement, fibo ini menggunakan serangkaian garis vertikal yang diposisikan dalam interval jarak seperti deret Fibonacci: 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dst. Garis-garis yang muncul berdasarkan perhitungan deret Fibonacci tadi diyakini akan menunjukkan perubahan harga yang signifikan. Harga biasanya mulai menunjukkan perubahan arah pergerakannya (baik itu major trend, secondary trend, ataupun hanya minor trend) pada area-area di dekat garis vertikal tersebut.

 

Gambar 14. Fibonacci Time Zones pada mata uang EURUSD menunjukkan adanya perubahan signifikan pada setiap intervalnya.

Cara penggunaannya sama seperti fibo-fibo lainnya, yaitu dengan menarik garis. Namun, penarikan pada Fibonacci Time Zones ini dimaksudkan untuk menggambarkan jarak interval pertama. Yang kemudian jarak interval berikutnya akan terbentuk secara otomatis.

Fibonacci Expansion
Jenis fibo ini hampir mirip dengan Fibonacci Retracement. Hanya saja fibonacci expansion biasanya digunakan untuk menentukan akhir dari Wave yang ada pada Elliot Wave. (Sementara ikuti dulu saja walaupun Elliot Wave belum saya bahas di sini). Berbeda dengan Fibonacci Retracement, Fibo Expansion hanya akan menunjukkan batasan-batasan dengan tiga garis rasional (61,8% – 100% – 161,8%).

 

Gambar 15. Batas-batas rasional yang ditunjukkan oleh Fibonacci Expansion sekilas tidak jauh beda dengan batas-batas yang ditunjukkan Fibonacci Retracement.

 

(sumber dikutip dari : id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_Fibonacci‎ dan aldigozali.com/ )

 

Matematika dan kehidupan

10/11/2013 01:04

 Dear my readers,

Kali ini kita akan membahas mengenai matematika dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
Namun sebelum itu marilah kita membahas apa itu "matematika"

Sumber  www.wikipedia.org

                    Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawanmencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksiomadan definisi-definisi yang bersesuaian.Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zamanRenaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

 

Aplikasi Matematika dalam kehidupan sehari-hari   

sumber 1. muonezaoktablog.wordpress.com/

Aplikasi Aljabar bagi siswa
 
   Tentu saja, manfaat aplikasi Aljabar
tambahan nilai untuk nilai kelulusan.Selain itu, manfaat aplikasi  Aljabar  yang sering diterapkan siswa adalah untuk memanajemen uang saku yang diberikan orang tua tiap minggu. Contoh penerapan aljabar dalam hal ini sebagai berikut: bagi para pelajar adalah  agar nilai ulangan Matematika tidak jatuh saat diberi soal Aljabar. 
Misalnya, uang saku kita sebesar Rp 70.000,00 setiap minggu.  Karena setiap hari Selasa dan Rabu ada pelajaran tambahan, serta  hari Jumat ada kegiatan ekstra kurikuler  (langsung lanjut belajar tambahan) maka dibutuhkan uang makan +uang jajan sebesar Rp 10.000,00. Nah, kita kebingungan menentukan  uang saku setiap hari selain Selasa, Rabu, dan Jum’at selama satu minggu jika dalam satu minggu itu kita ingin menabung uang sebesar Rp 25.000,00. Dengan bantuan aljabar kita dapat menentukan uang saku kita per hari.pada pukul 14.20 WIB  sedangkan setelah pulang sekolah kita tidak pulang dahulu
 
Cara mengerjakan menggunakan Aljabar:
 
Kita anggap uang saku kita per hari (selain Selasa, Rabu, dan Jumat karena sudah ada jatahnya, yaitu Rp 10.000,00) dengan x. Maka,
Rp 70.000 = (uang saku 1 minggu)
Rp 25.000 = (uang tabungan selama 1 minggu)
70.000 – 25.000 = (3 X 10.000) + 1(6x -3x)
Rp 45.000 = Rp 30.000 + 1(3x)
Rp 45.000 = Rp 30.000 + 3x
Rp 45.000 – Rp 30.000 = 3x
Rp 15.000 = 3x
x = Rp 15.000/3
x = Rp 5.000
{Mengapa (3 X 10.000)? 3 berasal dari Hari Selasa, Rabu, dan Jumat dalam satu Minggu. Berarti kan ada 3 hari}
{Mengapa 1(6x – 3x)? 1 berasal dari 1 minggu sedangkan 6x – 3x berasal dari 6 hari dalam satu Minggu kecuali Minggu karena libur, dikurangi 3 hari (Selasa, Rabu, dan Jumat karena telah dijatah)}
Jadi, uang saku per hari yang kita gunakan selain Selasa, Rabu, dan Jumat (sekali lagi karena telah dijatah) dan selain Minggu (karena libur) maksimal sebesar Rp 5.000,00. Tidak boleh lebih tetapi boleh kurang (hehe, sebagai tambahan tabungan). Boleh lebih tetapi harus konsekuen, yaitu mengurangi jatah uang saku di hari berikutnya. Intinya silakan diatur sendiri ya uang saku dari ortu, latihan jadi menteri keuangan untuk diri sendiri.


sumber 2. nabihbawazir.com/

Aplikasi Trigonometi para perkembangan Ilmu Teknik Sipil

Selain di bidang ilmu astronomi, trigonometri juga sangat erat kaitannya dengan pekerjaan seorang surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Pengukuran tanahadalah suatu cabang ilmu alam untuk menentukan posisi ruang dimensi tiga dari suatu tempat pada permukaan bumi. Hasil pengukuran tanah yang diperleh antara lain digunakan untuk membuat peta topografi dari bumi untuk menentukan luas wilayah suatu daerah. Dalam sistem undang-undang agraria zaman sekarang, koordinat eksak batas negara adalah suatu hal yang sangat penting agar batas negara tidak bergeser, seperti yang sering diangkat di media.
Para enginner, khusunya ahli sipil, lebih khususnya lagi ahli geodesi, sangat bergantung pada seorang surveyor. Ketika seorang insinyur membuat perencanaan pembangunan suatu proyek, seperti pembangunan jalan raya, jembatan, bendungan, gedung bertingkat, dll peran surveyor sangat diperlukan. Mirip kalitannya dengan ahli dosimetri dengan dokter spesialis penyakit onkologi. Seorang surveyor juga harus mempersiapkan untuk input data mengenai permukaan bumi dan tanah, setelah itu data diinput pada suatu sistem informasi yang diberi naman GIS (Geographycal Information System) Tidak jarang pengamatan untuk menghitung kemingan jalan raya, rel kereta api, dan jembatan, Keahlian trigonometri seorang surveyor sangat mempermudah pekerjaannya sehingga beliau tak perlu terjun langsung ke medan-medan sulit.

Sumber 3. tutorial-empunya-ganicomp.blogspot.com/

Aplikasi Barisan Aritmetika
 
Di dalam kehidupan sehari-hari sering kita temukan aplikasi yang berkaitan dengan konsep barisan aritmatika. Contoh kecil, pernahkan anda melihat  tangga dari sebuah rumah? Misalkan tangga itu menghubungkan antara lantai dasar ke lantai tingkat satu? Apa fungsi tangga dirumah itu? Tentu itu tidak perlu dijawab karena semuanya sudah tahu jawabannya. Apakah anak tangga itu memiliki ketinggian yang tidak beraturan seperti ini misalnya:

                                                                                        
 
Tentunya setiap orang yang akan melewatinya akan merasa kesulitan untuk menggunakannya. Mungkin hanya ada satu orang dari satu juta orang yang berani mencobanya.  Itu pun kalau ada. Tangga memiliki anak tangga yang ketinggiannya bertambah secara beraturan. Selisih ketinggian anak tangga yang berdekatan/ bertetanggaan adalah sama. Hal ini merupakan penerapan konsep barisan aritmatik. Sesuai fungsinya tangga berfungsi untuk mempermudah seseorang naik dari lantai dasar ke lantai atas. Sehingga ketinggian anak tangga bertambah secara beraturan.